二维付立叶变换光学系统的空间带宽积与颗粒大小分析

关健词 光学付立叶变换，空间带宽积，粒度分析

二维付立叶变换光学系统最成功的应用领域之一就是颗粒粒度分析。依据付立叶光学原理，通过检测群的付立叶谱，无需颗粒按大小在空间分离，便可实现粒度实时与动态测试与分析，从而开辟了粒度在线分析的广阔前景现在已被广泛应用于建材、冶金、能源、化工等许多领域。
此类粒度分析仪与经典的成象光学仪器不同，不能用放大率、景深、清晰度等参数来描述，概括仪器本质特征的参数是空间带宽积，空间带宽积制约着激光粒度仪的测量范围、分辩率、粒度的分级。正确理解空间带宽积，是改进与提高激光粒度分析仪的基础。本文着重探讨空间带宽积的物理意义，及其与颗粒大小分析之间的密切关系。

空间带宽积
在二维付立叶变换光路中，直径为d的圆孔屏置于前焦面，在平行激光照射下，在后焦面可得到此孔的衍射图样，中心O级衍射谱称为爱里斑，爱里斑半径由下式表示：

从（2）式可见，衍射物的空间尺度d与衍射空间频谱宽度ρ/λf的乘积为一常数，我们称
d*ρ/λf为空间带宽积。
为了不失一般性，我们讨论二维付立叶变换系统对任一空域函数的抽样，在空域频域均采用直角座标系。
由抽样定理可知，在空域对于带限函数g（x,y）使用间隔为△x△y的寻距抽样，得样本函数：


我们称满足（5）式的抽样间隔为尼奎斯特间隔。（5）式表明尼奎斯特间隔与原函数的带宽之积等于1。此乘积即为直角座标系中的空间带宽积。
以上分析表明：小的空间尺寸必然对应着一个宽的频带，换句话说，要测量小颗粒必须要用较宽的频带。如果尼奎斯特间隔大子所测的颗粒，则此颗粒在抽样中将被漏掉，频率将失真。
尼奎斯特间隔对激光粒度仪来讲就是该仪器最小可分辩尺寸。
激光粒度仪的空间带宽积
在激光粒度仪中，由于颗粒群的空间频谱具有中心对称性，因此通常采用同心环状的阵列探测器对功率谱进行抽样。
现考察一个半径为r0的颗粒，其透过率函数为

（11）式给出了颗粒与其付立叶径向功率谱的敏感空间带宽积。其物理意义是颗粒直径d发生变化时，满足上式的ρm处的功率谱变化最大。
敏感空间带宽积在激光粒度分析仪的设计中具有重要作用。
敏感空间带宽积的应用
敏感空间带宽积在激光粒度分析仪的设计中可用来确定测量的上下限粒径，与颗粒的分
级。

从（11）式还可看出，使用长波长的激光光源或者增大付立叶透镜的焦距有利于扩大测量范
围；反之，则有利于提高仪器的分辩率。
（11）式的应用价值并不限于以上几点。由于此式在理论上指出了颗粒尺寸d与敏感空间频率之间的对应关系，这就为无约束自由拟合的数据反演技术奠定了理论基础。
结论
空间带宽积是二维付立叶变换光学系统的一个重要参量，它集中反映了物空间与谱空间信息传递与处理的内在规律。特别是敏感空间带宽积，在激光粒度仪测量范围的计算，颗粒分级，
分辩率研究，仪器设计与改进，计算软件的开发与优化方面均具有广泛的应用价值。
参考文献
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